( 2,3) এবং (4,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশটি (3,4) বিন্দুতে কি অনুপাতে বিভক্ত হয়?

কোনো রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য একটি বিশেষ সূত্র ব্যবহার করা হয়। যদি দুটি বিন্দু \( A(x_1, y_1) \) এবং \( B(x_2, y_2) \) হয় এবং \( A \) এবং \( B \)-এর মধ্যে রেখাংশকে \( m : n \) অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুটি \( P(x, y) \) হয়, তবে \( P \)-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\[
x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}
\]
\[
y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}
\]

এখানে,

• \( m \): প্রথম বিন্দু \( A \) থেকে দূরত্বের অনুপাত
• \( n \): দ্বিতীয় বিন্দু \( B \) থেকে দূরত্বের অনুপাত

উদাহরণ

ধরুন, \( A \) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (2, 3) \) এবং \( B \) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (8, 7) \), এবং \( A \) এবং \( B \)-এর মধ্যকার রেখাংশকে \( 2 : 3 \) অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দু \( P \)-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে চাই।

এক্ষেত্রে,

• \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 3 \)
• \( x_2 = 8 \), \( y_2 = 7 \)
• \( m = 2 \), \( n = 3 \)

এখন, \( P(x, y) \)-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যাক:

\[
x = \frac{(2 \times 8) + (3 \times 2)}{2 + 3} = \frac{16 + 6}{5} = \frac{22}{5} = 4.4
\]
\[
y = \frac{(2 \times 7) + (3 \times 3)}{2 + 3} = \frac{14 + 9}{5} = \frac{23}{5} = 4.6
\]

অতএব, \( P \) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (4.4, 4.6) \)।

এইভাবে, কোনো রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যায়।